J. Héctor Morales
J. Héctor Morales
 

Análisis de Fourier y sus aplicaciones

Presentación

 

Lorsque, à la suite d'une expérience ou d'une simulation numérique, nous avons un signal dépendant du temps x(t) - appelé série temporelle - l'une des tâches essentielles est de déterminer le type d'évolution qui l'a produit. Pierre Bergé, Yves Pomeau et Christian Vidal, L'ordre dans le chaos: Vers une approche déterministe de la turbulence, Editions Hermann, Paris, 1997.

 

OBJETIVOS

 

El curso es una introducción al análisis de Fourier y a las ondículas, cuya finalidad es establecer las bases matemáticas necesarias para sus aplicaciones en problemas inversos y procesamiento de señales.

 

TEMARIO

 

I. Introducción y motivación al método de Fourier. A. 1. Modos normales de vibración. 2. Oscilaciones libres con N grados de libertad. 3. Ecuación clásica de ondas: sonido. B. Series de Fourier. 1. Teorema de Fourier. 2. Movimiento browniano y ecuación de calor.

 

II. Fundamentos de análisis. A. Conjuntos ortogonales de funciones y espacios de Hilbert. B. Teoría de distribuciones. C. Teorema integral de Fourier. D. Transformadas integrales de Fourier.

 

III. Transformaciones de ondículas (``Wavelets''). A. La analogía sinfónica de Strang. B. Fourier por ventanas y las bases de Gabor. C. La transformada de ondículas. D. Análisis de Haar. E. Haar vs. Fourier.

 

IV. Aplicaciones: Óptica de Fourier. A. Teoría de difracción. B. Espectros y correlaciones. C. Funciones de transferencia.

 

Temario en PDF: fourier_18O.pdf

 

TAREAS

 

tarea1_fourier_18O.pdf

 

REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS:

 

TEXTOS PRINCIPALES


Pierre Brémaud, Mathematical Principles of Signal Processing: Fourier and Wavelet Analysis, Springer, Berlin, 2002.

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María Cristina Pereyra and Lesley A. Ward, Harmonic Analysis: From Fourier to Wavelets, Student Mathematical Library 63, AMS, 2012.

L. Sirovich, Introduction to Applied Mathematics, Springer, 1998.


ÁNALISIS DE FOURIER Y ESPECTRAL

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John J. Benedetto, Harmonic Analysis and Applications, CRC Press, 1997.

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Pierre Brémaud, Fourier Analysis and Stochastic Processes, Springer, Cham, 2014.

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Karlheinz Gröchenig, Foundations of Time-Frequency Analysis, Birkhäuser, Boston, 2001.

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Ian N. Sneddon, Fourier Transforms, Dover Publications, 2010.

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Petre Stoica and Randolph Moses, Spectral Analysis of Signals, Prentice-Hall, New Jersey, 2005.

Robert S. Strichartz, A Guide to Distribution Theory and Fourier Transforms, World Scientific, 2003.

Georgi P. Tolstov, Fourier Series, Dover, NY, 1962.

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ONDÍCULAS

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John J. Benedetto and Michael W. Frazier, Wavelets: Mathematics and Applications, CRC Press, Boca Raton, 1994.

Ola Bratteli and Palle Jorgensen, Wavelets Through a Looking Glass: The World of the Spectrum, Springer, NY, 2002.

Charles K. Chui, Wavelets: A Mathematical Tool for Signal Analysis, SIAM, Philadelphia, 1997.

Ingrid Daubechies, Ten Lectures on Wavelets, Society for Industrial and Applied Mathematics, 1992.

Gerald Kaiser, A Friendly Guide to Wavelets, Birkhäuser, Boston, 1994.

Stéphan Mallat, A Wavelet Tour of Signal Processing: The Sparse Way, Academic Press, MA, 2009.

Donald B. Percival and Andrew T. Walden, Wavelet methods for time series analysis, CUP, 2000.

Gilbert Strang and Truong Nguyen, Wavelets and Filter Banks, Wellesley-Cambridge Press, MA, 1996.


ONDAS, ÓPTICA Y PROBLEMAS INVERSOS


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N. Bleistein, J.K. Cohen and J.W. Stockwell, Jr., Mathematics of Multidimensional Seismic Imaging, Migration, and Inversion, IAM 13, Springer, 2001.  

Bernard Chalmond, Modeling and Inverse Problems in Imaging Analysis, AMS 155, Springer, 2003.

Frank S. Crawford, Jr., Waves, Berkeley Physics Course Vol. 3, McGraw-Hill, 1968.

Anthony J. Devaney, Mathematical Foundations of Imaging, Tomography and Wavefield Inversion, Cambridge, 2012.

B. Roy Frieden, Probability, Statistical Opticas, and Data Testing, Springer, Berlin, 1991.

Joseph W. Goodman, Introduction to Fourier Optics, 2nd Edition, McGraw-Hill, NY, 1996.

Andreas Kirsch, An Introduction to the Mathematical Theory of Inverse Problems, AMS 120, Springer, NY, 1996.

Roger Knoble, An Introduction to the Mathematical Theory of Waves, Student Mathematical Library, AMS, USA, 2000.

Stephen Nettel, Wave Physics: Oscillations-Solitons-Chaos, Springer, Berlin, 2009.

G. F. Roach, Wave Scattering by Time-Depedent Perurbations: An Introduction, Princeton, 2007.

William A. Sethares, Rhythm and Transform, Springer, London, 2007.

Eyvind H. Wichmann, Quantum Physics, Berkeley Physics Course Vol. 4, McGraw-Hill, 1971.

 

LIGAS DE INTERÉS

 

Página del Prof. Tom W. Körner en Cambridge.

Ronald N. Bracewell. "The Fourier Transform", Scientific American, June 1989.

Radomir S. Stanković, et. al. "Remarks on History of Abstract Harmonic Analysis".

J. B. Joseph Fourier. "Théorie analitique de la chaleur". À Paris, chez Firmin Didot, père et fils, libraires pour les mathématiques, l'architecture hydraulique et la marine, rue Jacob, no. 24. 1822. (Éditions Jaques Gabay, 1988).

 

NOTA BIOGRÁFICA

L'Académie française ©, 2011: Joseph Fourier.

 

MI NOTA BIOGRÁFICA aderesada con palabras de S. K. Godunov (Godunov, 1984):

Jean Baptiste Joseph Fourier nació en Auxerre (departamento de l'Yonne, región de Bourgogne), a 164 km al sureste de Paris, el 21 de marzo de 1768. Su fama se debe a su teoría matemática de la conducción del calor, una teoría que involucra expansiones de funciones arbitrarias en ciertos tipos de series trigonométricas. Aunque tales expansiones ya habían sido investigadas anteriormente, llevan su nombre gracias a que él hizo las mayores contribuciones en el área. Las series de Fourier son ahora herramientas fundamentales en la ciencia.

La vida de Fourier fue variada y difícil por momentos. Huérfano a los 9 años, se llegó a interesar en las matemáticas en una escuela militar administrada por benedictinos en Auxerre. Fue un activista de la Revolución y, gracias a la caída del poder de Robespierre, se salvó de ser guillotinado. Después de la Revolución, Fourier acompañó a Napoleón a Egipto, a fin de establecer una institución educativa en los territorios conquistados recientemente. Al poco tiempo de que los franceses se retiraron en 1801, Napoleón eligió a Fourier prefecto de Isère, un departamento en el sur de Francia, con cabecera en Grenoble.

Fue en Grenoble en donde Fourier llevó al cabo su trabajo científico más importante. Dado que su vida profesional fue casi igualmente dividida entre la política y la ciencia, y que fue íntimamente ligada a la Revolución y Napoleón, sus avances en la frontera de las ciencias matemáticas son bastante considerables.

Los años finales de Fourier los pasó en Paris, donde fue Secretario de la Académie des sciences y sucedió a Laplace como presidente del Consejo de l'École Polytechnique. Murió a la edad de 62 años el 16 de mayo de 1830, el mismo año en que nace Porfirio Díaz.

El método de Fourier es muy común (pero no exhaustivo) en la resolución de ecuaciones en derivadas parciales que, por desgracia, no es universal. Se puede aplicar únicamente a las ecuaciones lineales de un tipo especial, para las cuales sea posible hallar un conjunto suficientemente rico de soluciones particulares. Las combinaciones lineales de estas soluciones se emplean para aproximar una solución más o menos arbitraria. El método surgió ya en el siglo XVIII, en el estudio de la ecuación que describe las oscilaciones de una cuerda.

Al estudiar la ecuación de las oscilaciones en la cuerda, d'Alembert mostró en 1747 que su solución general es la superposición de dos funciones. En una dimensión espacial dichas funciones representan los viajes a la derecha e izquierda de dos pulsos de forma arbitraria que se forman a partir de una configuración o forma inicial de la cuerda (condición inicial).

En 1748, Euler expresó a dichas funciones mediante un promedio de la configuración inicial de la cuerda y su velocidad inicial, que ahora comúnmente llamamos fórmula de d'Alembert. Euler observó que, por el significado físico del problema, los datos iniciales (posición y velocidad) tenían que ser, necesariamente, funciones analíticas del espacio y el tiempo.

En 1753, Daniel Bernoulli, partiendo de consideraciones totalmente distintas, llegó a la conclusión que las soluciones generales posibles de la ecuación de la cuerda deben ser de la forma de una serie trigonométrica; es decir, combinaciones lineales de ondas estacionarias. Euler mismo estuvo en desacuerdo, pues dudaba de la posibilidad de representar una función arbitraria de tal forma.

En 1759, Lagrange, al estudiar las oscilaciones ya no de una cuerda sino de un modelo que la aproximaba: un hilo de cuentas ensartadas en él, y efectuando luego el paso al límite (cuando el número de cuentas es infinito, límite continuo), confirmó los resultados de Euler por una parte y, por otra, obtuvo resultados próximos a los de Bernoulli. Sin embargo, la gran cantidad de pasos al límite — que en aquel tiempo, por supuesto, no podían efectuarse con el más mínimo rigor — inclinó a d'Alembert a estar en desacuerdo con el análisis dado por Lagrange.

Fue recién en 1807 que Fourier enunció el teorema de que una función totalmente arbitraria puede ser representada por una serie trigonométrica. Por extraño que parezca, las objeciones más categóricas contra el teorema salieron del propio Lagrange, a pesar de que sus fórmulas casi coincidieron con las que expresan los coeficientes de la serie trigonométrica de Fourier.

El teorema de Fourier fue demostrado en 1829 por Dirichlet, pero imponiendo condiciones bastante rigurosas sobre la función a desarrollar; estas condiciones llevan hoy su nombre.

En 1853, Riemann, al estudiar las condiciones bajo las cuales una función puede ser representada mediante una serie trigonométrica, llegó, en particular, a su conocida definición de la integral. El capítulo preliminar de su trabajo contiene una exposición muy interesante del problema (en el espíritu del relato histórico anterior). El trabajo se llama "Acerca de la posibilidad de representar una función mediante una serie trigonométrica".

Fuentes:

1. Ruel V. Churchill and James Ward Brown. "Fourier Series Boundary Value Problems". Fourth Edition. McGraw-Hill, 1987.

2. S. K. Godunov. "Ecuaciones de la Física Matemática". 2a. Edición, Editorial MIR Moscú, Moscú.

 

Una de las placas sobre la calle que lleva su nombre, en la pequeña Auxerre, al sureste de Paris. Héctor ®.

Aquí yacen los restos de Fourier en el Cementerio Père-Lachaise en París. Héctor ®.